Упр.11.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 27. Найдите высоту треугольника AED из задачи 26, опущенную на сторону AD, если ВС = 7 см, AD = 21 см и высота трапеции равна 3 см.

Подробный ответ

Так как $$AD \parallel BC$$, то углы $$\angle DAE$$ и $$\angle CBE$$ равны как соответственные при секущей $$AE$$. Кроме того, $$\angle AED$$ и $$\angle BEC$$ — общий угол.

Следовательно, $$\triangle AED \sim \triangle BEC$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BC}.$$

Но $$AE=AB+BE$$, значит

$$\frac{AB+BE}{BE}=\frac{AD}{BC}.$$

Подставим данные:

$$\frac{AB+BE}{BE}=\frac{21}{7}=3,$$

откуда

$$\frac{AB}{BE}=2,\qquad \frac{BE}{AB}=\frac{1}{2}.$$

Опустим высоту $$BH_1$$ трапеции $$ABCD$$. По условию $$BH_1=3$$ см.

Опустим высоту $$EH$$ треугольника $$AED$$ на сторону $$AD$$. Прямоугольные треугольники $$AHE$$ и $$AH_1B$$ подобны, так как у них общий острый угол при $$A$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{EH}{BH_1}=\frac{AE}{AB}=1+\frac{BE}{AB}.$$

Тогда

$$EH=BH_1\left(1+\frac{BE}{AB}\right)=3\left(1+\frac{1}{2}\right)=3\cdot\frac{3}{2}=4{,}5\text{ см}.$$