Упр.4.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена биссектриса $$CD$$. Найдите углы треугольника $$ABC$$, если $$\angle ADC$$ равен: 1) $$60^\circ$$; 2) $$75^\circ$$; 3) $$\alpha$$.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Поскольку $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$, имеем

$$\angle DCA=\frac12\angle BCA.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$:

$$\angle CAD+\angle ADC+\angle DCA=180^\circ.$$

Но $$\angle CAD=\angle BAC$$, поэтому

$$\angle BAC+\angle ADC+\frac12\angle BCA=180^\circ.$$

Так как $$\angle BAC=\angle BCA$$, получаем

$$\frac32\angle BAC=180^\circ-\angle ADC,$$

откуда

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac23\left(180^\circ-\angle ADC\right).$$

Тогда

$$\angle ABC=180^\circ-2\angle BAC.$$

1) Если $$\angle ADC=60^\circ$$, то

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac23\cdot 120^\circ=80^\circ,$$

$$\angle ABC=180^\circ-2\cdot 80^\circ=20^\circ.$$

2) Если $$\angle ADC=75^\circ$$, то

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac23\cdot 105^\circ=70^\circ,$$

$$\angle ABC=180^\circ-2\cdot 70^\circ=40^\circ.$$

3) Если $$\angle ADC=\alpha$$, то

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac23\left(180^\circ-\alpha\right)=120^\circ-\frac23\alpha,$$

$$\angle ABC=180^\circ-2\left(120^\circ-\frac23\alpha\right)=\frac43\alpha-60^\circ.$$

Ответ: 1) $$80^\circ,\ 80^\circ,\ 20^\circ$$; 2) $$70^\circ,\ 70^\circ,\ 40^\circ$$; 3) $$120^\circ-\frac23\alpha,\ 120^\circ-\frac23\alpha,\ \frac43\alpha-60^\circ$$.