Упр.15.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Каждое боковое ребро пирамиды равно $$13\ \text{см}$$. Вычислите высоту пирамиды.

Пусть $$PABCD$$ — данная пирамида, а $$ABCD$$ — её основание. Тогда $$AB=8$$ см, $$AD=6$$ см, $$PA=PB=PC=PD=13$$ см.

Так как основание — прямоугольник, то диагональ $$BD$$ найдём по теореме Пифагора:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ см}.$$

Обозначим через $$O$$ середину диагонали $$BD$$. Тогда

$$DO=\frac{1}{2}BD=5\text{ см}.$$

В треугольнике $$PBD$$ имеем $$PB=PD$$, значит он равнобедренный. Отрезок $$PO$$, проведённый к середине основания $$BD$$, является и медианой, и высотой. Следовательно, $$PO$$ — высота пирамиды.

В прямоугольном треугольнике $$POD$$:

$$PO=\sqrt{PD^2-DO^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$

Ответ: $$12$$ см.