Упр.13.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Сторона правильного многоугольника равна $$a$$, а радиус вписанной окружности — $$r$$. Найдите радиус описанной окружности.

Пусть $$AB$$ — сторона правильного многоугольника, $$O$$ — его центр, тогда $$AB=a$$ и $$OA=OB=R$$.

Опустим из точки $$O$$ перпендикуляр $$OH$$ на сторону $$AB$$. Так как $$O$$ — центр правильного многоугольника, то $$OH$$ является радиусом вписанной окружности, значит $$OH=r$$.

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому высота $$OH$$ является также медианой. Следовательно, $$AH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$$.

В прямоугольном треугольнике $$AHO$$ по теореме Пифагора:

$$R=OA=\sqrt{OH^2+AH^2} =\sqrt{r^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{r^2+\dfrac{a^2}{4}}.$$

Ответ: $$\sqrt{r^2+\dfrac{a^2}{4}}$$.