Упр.12.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны две стороны и угол между ними. а) Найдите остальные два угла и третью сторону, если:
   1) $$a=12$$, $$b=8$$, $$\gamma=60^\circ$$;
   2) $$a=7$$, $$b=23$$, $$\gamma=130^\circ$$;
   3) $$a=9$$, $$c=17$$, $$\alpha=95^\circ$$;
   4) $$b=14$$, $$c=10$$, $$\alpha=145^\circ$$;
   5) $$a=32$$, $$c=23$$, $$\beta=152^\circ$$;
   6) $$a=24$$, $$c=18$$, $$\beta=15^\circ$$.

Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны и теорему синусов для нахождения одного из углов. Затем находим третий угол по сумме углов треугольника:

1. Если $$a=12,$$ $$b=8,$$ $$\gamma=60^\circ,$$ то

   $$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$$
   $$c=\sqrt{12^2+8^2-2\cdot 12\cdot 8\cdot \cos 60^\circ}$$
   $$c=\sqrt{144+64-192\cdot 0{,}5}=\sqrt{112}\approx 10{,}6.$$

   По теореме синусов:
   $$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma},$$
   откуда
   $$\sin\alpha=\sin 60^\circ\cdot \frac{12}{10{,}6}\approx 0{,}9803,$$
   значит, $$\alpha\approx 79^\circ.$$

   $$\beta=180^\circ-\alpha-\gamma=180^\circ-79^\circ-60^\circ\approx 41^\circ.$$

2. Если $$a=7,$$ $$b=23,$$ $$\gamma=130^\circ,$$ то

   $$c=\sqrt{7^2+23^2-2\cdot 7\cdot 23\cdot \cos 130^\circ}$$
   $$c=\sqrt{49+529-322\cdot (-0{,}6428)}=\sqrt{785}\approx 28.$$

   $$\sin\alpha=\sin 130^\circ\cdot \frac{7}{28}\approx 0{,}1915,$$
   значит, $$\alpha\approx 11^\circ.$$

   $$\beta=180^\circ-130^\circ-11^\circ\approx 39^\circ.$$

3. Если $$a=9,$$ $$c=17,$$ $$\alpha=95^\circ,$$ то

   $$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\alpha}$$
   $$b=\sqrt{9^2+17^2-2\cdot 9\cdot 17\cdot \cos 95^\circ}$$
   $$b=\sqrt{81+289-306\cdot (-0{,}0871)}=\sqrt{396{,}7}\approx 19{,}9.$$

   $$\sin\beta=\sin 95^\circ\cdot \frac{9}{19{,}9}\approx 0{,}4505,$$
   значит, $$\beta\approx 27^\circ.$$

   $$\gamma=180^\circ-95^\circ-27^\circ\approx 58^\circ.$$

4. Если $$b=14,$$ $$c=10,$$ $$\alpha=145^\circ,$$ то

   $$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}$$
   $$a=\sqrt{14^2+10^2-2\cdot 14\cdot 10\cdot \cos 145^\circ}$$
   $$a=\sqrt{196+100-280\cdot (-0{,}8191)}=\sqrt{525{,}3}\approx 22{,}9.$$

   $$\sin\beta=\sin 145^\circ\cdot \frac{14}{22{,}9}\approx 0{,}3506,$$
   значит, $$\beta\approx 21^\circ.$$

   $$\gamma=180^\circ-145^\circ-21^\circ\approx 14^\circ.$$

5. Если $$a=32,$$ $$c=23,$$ $$\beta=152^\circ,$$ то

   $$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta}$$
   $$b=\sqrt{32^2+23^2-2\cdot 32\cdot 23\cdot \cos 152^\circ}$$
   $$b=\sqrt{1024+529-1472\cdot (-0{,}8829)}=\sqrt{2853}\approx 53{,}4.$$

   $$\sin\alpha=\sin 152^\circ\cdot \frac{32}{53{,}4}\approx 0{,}2813,$$
   значит, $$\alpha\approx 16^\circ.$$

   $$\gamma=180^\circ-152^\circ-16^\circ\approx 12^\circ.$$

6. Если $$a=24,$$ $$c=18,$$ $$\beta=15^\circ,$$ то

   $$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta}$$
   $$b=\sqrt{24^2+18^2-2\cdot 24\cdot 18\cdot \cos 15^\circ}$$
   $$b=\sqrt{576+324-864\cdot 0{,}9659}=\sqrt{65{,}5}\approx 8{,}1.$$

   $$\sin\gamma=\sin 15^\circ\cdot \frac{18}{8{,}1}\approx 0{,}5751,$$
   значит, $$\gamma\approx 35^\circ.$$

   $$\alpha=180^\circ-15^\circ-35^\circ\approx 130^\circ.$$

Ответ:

• 1) $$c\approx 10{,}6,$$ $$\alpha\approx 79^\circ,$$ $$\beta\approx 41^\circ;$$
• 2) $$c\approx 28,$$ $$\alpha\approx 11^\circ,$$ $$\beta\approx 39^\circ;$$
• 3) $$b\approx 19{,}9,$$ $$\beta\approx 27^\circ,$$ $$\gamma\approx 58^\circ;$$
• 4) $$a\approx 22{,}9,$$ $$\beta\approx 21^\circ,$$ $$\gamma\approx 14^\circ;$$
• 5) $$b\approx 53{,}4,$$ $$\alpha\approx 16^\circ,$$ $$\gamma\approx 12^\circ;$$
• 6) $$b\approx 8{,}1,$$ $$\alpha\approx 130^\circ,$$ $$\gamma\approx 35^\circ.$$