Упр.11.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найдите высоту треугольника $$AED$$, опущенную на сторону $$AD$$, если $$BC=7\ \text{см}$$, $$AD=21\ \text{см}$$ и высота трапеции равна $$3\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$H_1$$ основание высоты трапеции $$ABCD$$, опущенной из точки $$B$$ на прямую $$AD$$, а через $$H$$ — основание высоты треугольника $$AED$$, опущенной из точки $$E$$ на $$AD$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то углы $$\angle DAE$$ и $$\angle CBE$$ равны как соответственные при секущей $$AE$$. Кроме того, $$\angle AED$$ — общий. Значит, треугольники $$AED$$ и $$BEC$$ подобны.

Из подобия получаем:

$$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BC}$$

Но $$AE=AB+BE$$, поэтому

$$\frac{AB+BE}{BE}=\frac{AD}{BC}$$

Подставим данные:

$$\frac{AB+BE}{BE}=\frac{21}{7}=3$$

Тогда

$$\frac{AB}{BE}=2,\qquad \frac{BE}{AB}=\frac12$$

Высота трапеции равна $$3$$ см, значит $$BH_1=3$$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AHE$$ и $$AH_1B$$. Они подобны, так как у них общий угол при $$A$$ и по одному прямому углу.

Следовательно,

$$\frac{AE}{AB}=\frac{EH}{BH_1}$$