Упр.1.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Между сторонами угла $$\angle(ab)$$, равного $$60^\circ$$, проходит луч $$c$$. Найдите углы $$\angle(ac)$$ и $$\angle(bc)$$, если:
   1) угол $$\angle(ac)$$ на $$30^\circ$$ больше угла $$\angle(bc)$$;
   2) угол $$\angle(ac)$$ в 2 раза больше угла $$\angle(bc)$$;
   3) луч $$c$$ делит угол $$\angle(ab)$$ пополам;
   4) градусные меры углов $$\angle(ac)$$ и $$\angle(bc)$$ относятся как $$2:3$$.

Если луч $$c$$ проходит между сторонами угла $$ab$$, то он делит этот угол на два угла: $$\angle ac$$ и $$\angle cb$$. Поэтому

$$\angle ab=\angle ac+\angle cb=60^\circ.$$

1. Пусть $$\angle ac=\angle cb+30^\circ$$. Тогда

   $$60^\circ=\angle cb+30^\circ+\angle cb,$$

   $$60^\circ=2\angle cb+30^\circ,$$

   $$2\angle cb=30^\circ,$$

   $$\angle cb=15^\circ.$$

   Тогда

   $$\angle ac=15^\circ+30^\circ=45^\circ.$$

2. Пусть $$\angle ac=2\angle cb$$. Тогда

   $$60^\circ=2\angle cb+\angle cb,$$

   $$60^\circ=3\angle cb,$$

   $$\angle cb=20^\circ.$$

   Следовательно,

   $$\angle ac=2\cdot 20^\circ=40^\circ.$$

3. Если луч $$c$$ делит угол $$ab$$ пополам, то

   $$\angle ac=\angle cb.$$

   Тогда

   $$60^\circ=\angle cb+\angle cb=2\angle cb,$$

   $$\angle cb=30^\circ,$$

   значит, $$\angle ac=30^\circ.$$

4. Пусть $$\angle ac:\angle cb=2:3$$. Тогда

   $$\angle ac=\frac{2}{3}\angle cb.$$

   Из условия получаем

   $$60^\circ=\frac{2}{3}\angle cb+\angle cb,$$

   $$60^\circ=\frac{5}{3}\angle cb,$$

   $$\angle cb=36^\circ.$$

   Тогда

   $$\angle ac=\frac{2}{3}\cdot 36^\circ=24^\circ.$$

Ответ: 1) $$45^\circ$$ и $$15^\circ$$; 2) $$40^\circ$$ и $$20^\circ$$; 3) $$30^\circ$$ и $$30^\circ$$; 4) $$24^\circ$$ и $$36^\circ$$.