Вопрос 26 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — ненулевые векторы.

Если $$\vec a \perp \vec b$$, то угол между ними равен $$90^\circ$$. Тогда

$$\cos 90^\circ=0,$$

и по формуле скалярного произведения

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos 90^\circ=|\vec a|\,|\vec b|\cdot 0=0.$$

Обратно, пусть $$\vec a\cdot \vec b=0$$. По формуле скалярного произведения имеем

$$|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi=0,$$

где $$\varphi$$ — угол между векторами. Так как векторы ненулевые, то $$|\vec a|\neq 0$$ и $$|\vec b|\neq 0$$, значит

$$\cos\varphi=0.$$

Отсюда $$\varphi=90^\circ$$, следовательно, $$\vec a \perp \vec b$$.

Ответ: если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю; обратно, если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.