Упр.13.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: сторона правильного многоугольника равна a, а радиус описанной
окружности равен R;
Найти: радиус r вписанной окружности;
Решение:
1) Пусть AB-сторона данного многоугольника, а O-центр описанной
около него окружности, тогда: AB=a и OA=OB=R;
2) Из точки O опустим перпендикуляр OH на сторону AB;
3) Так как O-центр многоугольника и AB перпендикулярен OH, то по свойству радиуса
и касательной отрезок OH является радиусом вписанной окружности;
4) Треугольник AOB-равнобедренный с основанием AB, значит у него
высота OH является и медианой, тогда: AH=1/2 AB=a/2;
5) В прямоугольном треугольнике AHO по теореме Пифагора.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — сторона правильного многоугольника, $$O$$ — центр описанной окружности. Тогда $$AB=a$$, $$OA=OB=R$$.

Из точки $$O$$ опустим перпендикуляр $$OH$$ на сторону $$AB$$. Так как $$O$$ — центр правильного многоугольника, то прямая $$OH$$ является радиусом вписанной окружности, значит $$OH=r$$.

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому высота $$OH$$ является также медианой. Следовательно,

$$AH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHO$$ по теореме Пифагора:

$$ r=OH=\sqrt{AO^2-AH^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}. $$