Вопрос 26 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение
равно нулю и обратно: если скалярное произведение отличных от нуля
векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны;

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — перпендикулярные векторы. Тогда угол между ними равен $$\varphi=90^\circ$$, значит, $$\cos\varphi=0$$.

По формуле скалярного произведения имеем:

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi.$$

Следовательно,

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cdot 0=0.$$

Докажем обратное. Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — ненулевые векторы и $$\vec a\cdot \vec b=0$$. Тогда

$$|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi=0.$$

Так как $$|\vec a|\neq 0$$ и $$|\vec b|\neq 0$$, то

$$\cos\varphi=0,$$

откуда $$\varphi=90^\circ$$. Значит, векторы перпендикулярны.

Ответ

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.