Упр.13.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Сторона правильного многоугольника равна $$a$$, а радиус описанной окружности — $$R$$. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть $$AB$$ — сторона правильного многоугольника, а $$O$$ — центр описанной окружности. Тогда $$AB=a$$, $$OA=OB=R$$.

Из точки $$O$$ опустим перпендикуляр $$OH$$ на сторону $$AB$$. Так как в правильном многоугольнике центр лежит на перпендикуляре к стороне, проведённом через её середину, то $$OH$$ является радиусом вписанной окружности, то есть $$OH=r$$.

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому высота $$OH$$ является и медианой. Следовательно,

$$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHO$$ по теореме Пифагора:

$$r=OH=\sqrt{OA^2-AH^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$

Ответ: $$r=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}$$.