Упр.11.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении m : n. В каком отношении делит она другую боковую сторону?

Пусть прямая $$EF$$ параллельна основаниям $$AD$$ и $$BC$$ трапеции $$ABCD$$ и пересекает боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. По условию

$$\frac{AE}{EB}=\frac{m}{n}.$$

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $$M$$.

Тогда в треугольнике $$ADM$$ отрезок $$EF$$ параллелен стороне $$AD$$, значит, по свойству пропорциональных отрезков

$$\frac{DF}{FM}=\frac{AE}{EM}.$$

А в треугольнике $$EFM$$ отрезок $$BC$$ параллелен стороне $$EF$$, поэтому

$$\frac{CF}{FM}=\frac{EB}{EM}.$$

Из двух равенств получаем

$$\frac{DF}{AE}=\frac{CF}{EB}.$$

Следовательно, если $$\frac{AE}{EB}=\frac{m}{n}$$, то

$$\frac{DF}{CF}=\frac{AE}{EB}=\frac{m}{n}.$$

Значит, прямая делит вторую боковую сторону в том же отношении.

Ответ

$$m:n$$