Упр.10.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 25. Даны векторы а (2; -4), b (1; 1), с (1; -2), d (-2; -4). Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направлены?

Подробный ответ

Коллинеарные векторы имеют пропорциональные соответствующие координаты.

Проверим пары данных векторов:

$$\vec a=(2;-4),\quad \vec b=(1;1),\quad \vec c=(1;-2),\quad \vec d=(-2;-4).$$

1) Для $$\vec a$$ и $$\vec b$$:

$$\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{-4}{1}=-4.$$

Координаты не пропорциональны, значит, эти векторы не коллинеарны.

2) Для $$\vec a$$ и $$\vec c$$:

$$\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{-4}{-2}=2.$$

Координаты пропорциональны, значит, $$\vec a$$ и $$\vec c$$ коллинеарны. Причём

$$\vec a=2\vec c,$$

то есть коэффициент положительный, следовательно, векторы одинаково направлены.

3) Для $$\vec a$$ и $$\vec d$$:

$$\frac{2}{-2}=-1,\qquad \frac{-4}{-4}=1.$$

Координаты не пропорциональны, значит, эти векторы не коллинеарны.

4) Для $$\vec b$$ и $$\vec d$$:

$$\frac{1}{-2}=-0{,}5,\qquad \frac{1}{-4}=-0{,}25.$$

Координаты не пропорциональны, значит, эти векторы не коллинеарны.

Так как $$\vec a$$ и $$\vec c$$ коллинеарны, а $$\vec a$$ не коллинеарен с $$\vec b$$ и $$\vec d$$, то $$\vec c$$ тоже не коллинеарен с $$\vec b$$ и $$\vec d$$.