Упр.3.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный, если у него: 1) медиана $$BD$$ является высотой; 2) высота $$BD$$ является биссектрисой; 3) биссектриса $$BD$$ является медианой.

Подробный ответ

Рассмотрим каждый случай.

Пусть $$BD$$ — медиана и одновременно высота треугольника $$ABC$$.
Тогда $$D$$ — середина отрезка $$AC$$, то есть $$AD=DC$$, и $$BD\perp AC$$, значит $$\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$$.
В треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$:
- $$BD$$ — общая сторона;
- $$AD=DC$$;
- $$\angle BDA=\angle BDC$$.
Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$AB=BC$$, значит $$\triangle ABC$$ равнобедренный.
Пусть $$BD$$ — высота и одновременно биссектриса треугольника $$ABC$$.
Тогда $$\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$$, а так как $$BD$$ — биссектриса, то $$\angle ABD=\angle DBC$$.
В треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$:
- $$BD$$ — общая сторона;
- $$\angle BDA=\angle BDC$$;
- $$\angle ABD=\angle DBC$$.
Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $$AB=BC$$, то есть $$\triangle ABC$$ равнобедренный.
Пусть $$BD$$ — биссектриса и одновременно медиана треугольника $$ABC$$.
Тогда $$AD=DC$$. На прямой $$BD$$ отложим отрезок $$DB_1=BD$$.
Углы $$\angle CDB$$ и $$\angle ADB_1$$ равны как вертикальные. Кроме того, $$DC=DA$$ и $$DB=DB_1$$.
Следовательно, $$\triangle CDB \cong \triangle ADB_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$BC=AB_1$$ и $$\angle DBC=\angle DB_1A$$.
Так как $$BD$$ — биссектриса, то $$\angle ABD=\angle DBC$$, значит $$\angle ABD=\angle DB_1A$$. Тогда в треугольнике $$ABB_1$$ углы при основании равны, поэтому $$AB=AB_1$$.
Но $$AB_1=BC$$, следовательно $$AB=BC$$. Значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.