Упр.3.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 25. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если у него: 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является биссектрисой; 3) биссектриса BD является медианой.

Подробный ответ

1) Если медиана $$BD$$ является высотой.

Так как $$BD$$ — медиана, то $$AD=DC$$. Кроме того, $$BD$$ — высота, значит $$\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$. У них:

$$BD$$ — общая сторона, $$AD=DC$$, $$\angle BDA=\angle BDC$$.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда $$AB=BC$$, значит $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

2) Если высота $$BD$$ является биссектрисой.

Так как $$BD$$ — высота, то $$\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$$. Так как $$BD$$ — биссектриса, то $$\angle ABD=\angle CBD$$.

В треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$ имеем:

$$BD$$ — общая сторона, $$\angle BDA=\angle BDC$$, $$\angle ABD=\angle CBD$$.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по второму признаку равенства треугольников. Значит, $$AB=BC$$, то есть $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

3) Если биссектриса $$BD$$ является медианой.

Так как $$BD$$ — медиана, то $$AD=DC$$. Так как $$BD$$ — биссектриса, то $$\angle ABD=\angle CBD$$.

На прямой $$BD$$ отложим отрезок $$DB_1=BD$$. Тогда углы $$\angle CDB$$ и $$\angle ADB_1$$ равны как вертикальные.

Рассмотрим треугольники $$CBD$$ и $$ADB_1$$. У них:

$$DC=DA$$, $$BD=DB_1$$, $$\angle CDB=\angle ADB_1$$.

Следовательно, $$\triangle CBD \cong \triangle ADB_1$$ по первому признаку, откуда $$BC=AB_1$$ и $$\angle DBC=\angle DB_1A$$.

Но $$\angle DBC=\angle ABD$$, значит $$\angle ABD=\angle DB_1A$$. Тогда в треугольнике $$ABB_1$$ углы при основании равны, следовательно, $$AB=AB_1$$.

Так как $$AB_1=BC$$, получаем $$AB=BC$$. Значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.