Вопрос 25 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 25. Докажите, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — данные векторы, а $$\varphi$$ — угол между ними.

Рассмотрим векторную формулу:

$$ (\vec a+\vec b)^2=(\vec a+\vec b)(\vec a+\vec b)=\vec a^2+2\vec a\vec b+\vec b^2. $$

С другой стороны, по формуле для квадрата длины суммы векторов имеем:

$$ |\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\vec a\vec b. $$

Из этой формулы видно, что скалярное произведение $$\vec a\vec b$$ выражается через длины векторов и длину их суммы, а значит, не зависит от выбора системы координат.

Выберем систему координат так, как показано на рисунке: ось $$Ox$$ направим вдоль вектора $$\vec a$$. Тогда координаты вектора $$\vec a$$ равны $$\bigl(|\vec a|,\,0\bigr)$$, а координаты вектора $$\vec b$$ равны $$\bigl(|\vec b|\cos\varphi,\,|\vec b|\sin\varphi\bigr)$$.

Тогда скалярное произведение равно:

$$ \vec a\vec b=|\vec a|\cdot |\vec b|\cos\varphi+0\cdot |\vec b|\sin\varphi=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\vec a\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi$$