Упр.13.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса $$R$$.
Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_{10}$$ — правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Тогда точки $$A_1, A_3, A_5, A_7, A_9$$ образуют правильный пятиугольник.
Обозначим сторону десятиугольника через $$a_{10}$$, а сторону пятиугольника — через $$a_5$$.
Центральный угол правильного десятиугольника равен
$$\angle A_1OA_2=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$
В равнобедренном треугольнике $$A_1OA_2$$ имеем $$OA_1=OA_2=R$$, поэтому по теореме косинусов
$$a_{10}^2=A_1A_2^2=R^2+R^2-2R\cdot R\cos 36^\circ.$$
Отсюда
$$a_{10}=R\sqrt{2-2\cos 36^\circ}.$$
Используя известное значение
$$\cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4},$$
получаем
$$a_{10}=R\sqrt{2-2\cdot \frac{1+\sqrt5}{4}} =R\sqrt{\frac{3-\sqrt5}{2}} =\frac{R(\sqrt5-1)}{2}.$$
Теперь найдём сторону правильного пятиугольника. Его сторона — это хорда, стягивающая центральный угол $$72^\circ$$, то есть
$$a_5=2R\sin 36^\circ.$$
Так как
$$\sin^2 36^\circ=1-\cos^2 36^\circ =1-\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2 =\frac{5-\sqrt5}{8},$$
то
$$a_5=2R\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{8}} =R\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}.$$
Ответ: $$a_{5}=R\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}},\qquad a_{10}=\frac{R(\sqrt5-1)}{2}.$$
