Упр.12.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

12.25. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведённых из этой же вершины.

Подробный ответ

Проведём в треугольнике $$ABC$$ биссектрису $$BD$$, высоту $$BH$$ и медиану $$BM$$ из одной и той же вершины $$B$$.

Так как $$BH \perp AC$$, а $$BD$$ — наклонная к прямой $$AC$$, проведённая из той же точки $$B$$, то по свойству перпендикуляра и наклонной имеем:

$$BD>BH.$$

Докажем теперь, что $$BD\le BM$$.

Пусть сначала $$AB<BC$$. Тогда $$\angle C<\angle A$$. Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$. Имеем $$\angle AHB=\angle CHB=90^\circ$$, а также $$\angle ABH<\angle CBH$$, значит

$$\angle ABH<\frac12\angle ABC.$$

По свойству медианы: если $$AB<BC$$, то $$\angle ABM>\angle CBM$$, следовательно

$$\angle CBM<\frac12\angle ABC.$$

Так как $$BD$$ — биссектриса, то

$$\angle ABD=\angle CBD=\frac12\angle ABC.$$

Значит, луч $$BH$$ лежит внутри угла $$ABD$$, а луч $$BM$$ — внутри угла $$CBD$$, поэтому точка $$D$$ лежит между точками $$H$$ и $$M$$. Тогда в треугольнике $$BHM$$ отрезок $$BD$$ меньше большего из отрезков $$BH$$ и $$BM$$. Но уже известно, что $$BD>BH$$, значит

$$BD<BM.$$

Если $$AB>BC$$, рассуждение проводится аналогично. В случае равнобедренного треугольника $$AB=BC$$ высота, биссектриса и медиана, проведённые из вершины $$B$$, совпадают, то есть

$$BH=BD=BM.$$

Следовательно, в общем случае

$$BH\le BD\le BM.$$

Ответ: $$BH\le BD\le BM$$.