Упр.7.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: любая сторона треугольника больше разности двух других
его сторон;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник, тогда из неравенства треугольника
для точек не лежащих на одной прямой следует:
AB < AC+BC, отсюда AB-AC < BC и AB-BC < AC; AC < AB+BC, отсюда AC-AB < BC и AC-BC < AB; BC < AB+AC, отсюда BC-AB < AC и BC-AC < AB; 2) Таким образом, любая сторона треугольника меньше разностей двух других его сторон, что и требовалось доказать.

Пусть дан треугольник $$ABC$$. По неравенству треугольника имеем:

$$AB<AC+BC,$$
откуда $$AB-AC<BC$$ и $$AB-BC<AC.$$

Аналогично:

$$AC<AB+BC,$$
откуда $$AC-AB<BC$$ и $$AC-BC<AB.$$

И, наконец,

$$BC<AB+AC,$$
откуда $$BC-AB<AC$$ и $$BC-AC<AB.$$

Следовательно, каждая сторона треугольника больше разности двух других его сторон, то есть

$$AB>|AC-BC|,\quad AC>|AB-BC|,\quad BC>|AB-AC|.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

Любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон.