Упр.11.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении $$m:n$$. В каком отношении делит она другую боковую сторону?

Пусть прямая $$EF$$ параллельна основаниям $$AD$$ и $$BC$$ трапеции $$ABCD$$ и пересекает боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Тогда по условию

$$\frac{AE}{EB}=\frac{m}{n}.$$

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $$M$$.

Так как $$EF \parallel AD$$, то в треугольнике $$ADM$$ прямая $$EF$$ параллельна основанию, значит, по теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{DF}{FM}=\frac{AE}{EM}.$$

А так как $$BC \parallel AD$$, то в треугольнике $$EFM$$ прямая $$BC$$ также параллельна основанию, поэтому

$$\frac{CF}{FM}=\frac{EB}{EM}.$$

Из двух равенств получаем

$$\frac{DF}{AE}=\frac{CF}{EB}.$$

Следовательно, если $$\frac{AE}{EB}=\frac{m}{n}$$, то

$$\frac{DF}{CF}=\frac{AE}{EB}=\frac{m}{n}.$$

Значит, прямая, параллельная основаниям трапеции, делит вторую боковую сторону в том же отношении.

Ответ: $$m:n$$.