Упр.10.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны векторы $$a=(2;-4),\ b=(1;1),\ c=(1;-2),\ d=(-2;-4)$$. Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направлены?

Коллинеарность векторов проверим по пропорциональности их координат.

Для векторов $$\vec a(2;\,-4)$$ и $$\vec b(1;\,1)$$ имеем:

$$\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{-4}{1}=-4.$$

Коэффициенты не равны, значит, $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны.

Для векторов $$\vec a(2;\,-4)$$ и $$\vec c(1;\,-2)$$:

$$\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{-4}{-2}=2.$$

Координаты пропорциональны, значит, $$\vec a$$ и $$\vec c$$ коллинеарны. Причём

$$\vec a=2\vec c,$$

то есть коэффициент положительный, следовательно, эти векторы сонаправлены.

Для векторов $$\vec a(2;\,-4)$$ и $$\vec d(-2;\,-4)$$:

$$\frac{2}{-2}=-1,\qquad \frac{-4}{-4}=1.$$

Координаты не пропорциональны, значит, $$\vec a$$ и $$\vec d$$ не коллинеарны.

Для векторов $$\vec b(1;\,1)$$ и $$\vec d(-2;\,-4)$$:

$$\frac{1}{-2}=-0{,}5,\qquad \frac{1}{-4}=-0{,}25.$$

Координаты не пропорциональны, значит, $$\vec b$$ и $$\vec d$$ не коллинеарны.

Следовательно, единственная пара коллинеарных векторов — $$\vec a$$ и $$\vec c$$, и они сонаправлены.

Ответ: $$\vec a$$ и $$\vec c$$ — коллинеарны и сонаправлены; других пар коллинеарных векторов нет.