Упр.15.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 24. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, а угол основания равен 60°. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-24 76

Подробный ответ

Обозначим данный прямой параллелепипед через $$ABCDA_1B_1C_1D_1.$$ Тогда $$AB=BC=CD=DA=AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=a,$$ а угол основания $$\angle BAD=60^\circ.$$

Найдём диагонали параллелепипеда.

1) В основании $$ABCD$$ по свойству параллелограмма $$\angle ABC=180^\circ-\angle BAD=120^\circ.$$

По теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle ABC $$

$$ AC^2=a^2+a^2-2a^2\cos120^\circ =2a^2-2a^2\cdot\left(-\frac12\right)=3a^2. $$

Значит,

$$AC=a\sqrt3.$$

2) По теореме косинусов в треугольнике $$ABD$$:

$$ BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD $$

$$ BD^2=a^2+a^2-2a^2\cos60^\circ =2a^2-2a^2\cdot\frac12=a^2. $$

Следовательно,

$$BD=a.$$

3) Найдём пространственные диагонали.

В прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$:

$$ AC_1^2=AC^2+CC_1^2=3a^2+a^2=4a^2, $$

откуда

$$AC_1=2a.$$

В прямоугольном треугольнике $$DBB_1$$:

$$ DB_1^2=BD^2+BB_1^2=a^2+a^2=2a^2, $$

откуда

$$DB_1=a\sqrt2.$$

Так как у прямого параллелепипеда все пространственные диагонали попарно равны соответствующим найденным значениям, получаем две различные диагонали: $$2a$$ и $$a\sqrt2.$$