Упр.9.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Даны три попарно пересекающиеся прямые $$a$$, $$b$$, $$c$$. Как построить отрезок, перпендикулярный прямой $$b$$, с серединой на прямой $$b$$ и концами на прямых $$a$$ и $$c$$ (рис. 212)? Всегда ли задача имеет решение?
Пусть $$B=a\cap c,$$ $$C=a\cap b.$$ Построим точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$b$$.
Для этого через $$B$$ проводим прямую, перпендикулярную $$b,$$ и на ней по другую сторону от $$b$$ откладываем отрезок $$OB’=OB,$$ где $$O$$ — точка пересечения этой прямой с $$b$$.
Затем проводим прямую $$CB’$$ и обозначаем через $$E$$ её пересечение с прямой $$c.$$ Через точку $$E$$ проводим прямую, перпендикулярную $$b,$$ и обозначаем через $$F$$ её пересечение с прямой $$a.$$
Так как $$B’$$ — отражение точки $$B$$ относительно прямой $$b,$$ то прямая $$b$$ является осью симметрии угла $$CBC’.$$ Следовательно, она является биссектрисой угла $$BCB’.$$
Точки $$E$$ и $$F$$ лежат на сторонах этого угла, а прямая $$b$$ проходит через середину отрезка $$EF$$ и перпендикулярна ему. Значит, $$EF$$ перпендикулярен $$b$$ и имеет середину на прямой $$b.$$
Итак, искомый отрезок — $$EF.$$
Задача имеет решение не всегда: оно существует лишь тогда, когда построенная прямая $$CB’$$ пересекает прямую $$c$$ в точке $$E$$, а прямая, проведённая через $$E$$ перпендикулярно $$b,$$ пересекает прямую $$a$$ в точке $$F.$$ Если эти пересечения не получаются, то решения нет.
