Упр.3.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена медиана $$BM$$. На ней взята точка $$D$$. Докажите равенство треугольников: 1) $$ABD$$ и $$CBD$$; 2) $$AMD$$ и $$CMD$$.

Так как $$BM$$ — медиана равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AC$$, то $$AM=MC$$ и $$BM$$ является также высотой. Следовательно, точка $$D$$ лежит на прямой $$BM$$, поэтому $$BD$$ — общая сторона для рассматриваемых треугольников.

1) Докажем, что $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$

Имеем:

• $$AB=BC$$, так как $$ABC$$ — равнобедренный треугольник;
• $$BD$$ — общая сторона;
• $$\angle ADB=\angle CDB=90^\circ$$, так как $$BM$$ — высота, а значит $$BD \perp AC$$.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум сторонам и углу между ними.

2) Докажем, что $$\triangle AMD \cong \triangle CMD$$

Имеем:

• $$AM=MC$$, так как $$BM$$ — медиана;
• $$DM$$ — общая сторона;
• $$\angle AMD=\angle DMC=90^\circ$$, так как $$BM$$ — высота и $$DM \subset BM$$.

Следовательно, $$\triangle AMD \cong \triangle CMD$$ по двум сторонам и углу между ними.