Упр.15.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно $$a$$, а угол основания равен $$60^\circ$$.

Пусть $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — данный прямой параллелепипед, у которого $$AB=BC=CD=DA=AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=a$$ и $$\angle BAD=60^\circ$$.

Тогда в основании $$ABCD$$ соседние углы параллелограмма дополняют друг друга до $$180^\circ$$, значит

$$\angle ABC=180^\circ-\angle BAD=120^\circ.$$

Найдём диагонали основания.

В треугольнике $$ABC$$ по теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle ABC$$

$$AC^2=a^2+a^2-2a^2\cos120^\circ =2a^2-2a^2\left(-\frac12\right)=3a^2,$$

откуда

$$AC=a\sqrt3.$$

В треугольнике $$ABD$$ по теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD$$

$$BD^2=a^2+a^2-2a^2\cos60^\circ =2a^2-2a^2\cdot \frac12=a^2,$$

значит

$$BD=a.$$

Теперь найдём пространственные диагонали.

В прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$:

$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=3a^2+a^2=4a^2,$$

следовательно,

$$AC_1=2a.$$

В прямоугольном треугольнике $$DBB_1$$:

$$DB_1^2=BD^2+BB_1^2=a^2+a^2=2a^2,$$

откуда

$$DB_1=a\sqrt2.$$

Ответ: $$2a$$ и $$a\sqrt2$$.