Упр.14.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $$73\ \text{см}$$, а площадь равна $$1320\ \text{см}^2$$?

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $$x$$ и $$y$$, а гипотенузу — через $$73$$ см.

По формуле площади прямоугольного треугольника имеем:

$$S=\frac{1}{2}xy=1320,$$

откуда

$$xy=2640.$$

По теореме Пифагора:

$$x^2+y^2=73^2=5329.$$

Сложим и вычтем полученные равенства:

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=5329+2\cdot2640=10609,$$

значит,

$$x+y=103.$$

Теперь найдём катеты как корни уравнения

$$t^2-103t+2640=0.$$

Дискриминант:

$$D=103^2-4\cdot2640=10609-10560=49.$$

Тогда

$$t=\frac{103\pm7}{2},$$

откуда

$$t_1=55,\quad t_2=48.$$

Следовательно, катеты прямоугольного треугольника равны $$55$$ см и $$48$$ см.

Ответ: $$55$$ см и $$48$$ см.