Упр.10.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. И обратно: если у двух ненулевых векторов соответствующие координаты пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.

Пусть $$\vec a=(a_1;a_2)$$ и $$\vec b=(b_1;b_2)$$ — коллинеарные векторы. Тогда они либо сонаправлены, либо противоположно направлены, значит, существует число $$\lambda$$ такое, что

$$\vec b=\lambda \vec a.$$

Тогда

$$\vec b=(b_1;b_2)=\lambda(a_1;a_2)=(\lambda a_1;\lambda a_2),$$

откуда

$$b_1=\lambda a_1,\qquad b_2=\lambda a_2.$$

Следовательно, соответствующие координаты пропорциональны:

$$\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\lambda.$$

Обратно: пусть у ненулевых векторов $$\vec c=(c_1;c_2)$$ и $$\vec d=(d_1;d_2)$$ соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует число $$\lambda$$ такое, что

$$\frac{c_1}{d_1}=\frac{c_2}{d_2}=\lambda.$$

Тогда

$$\vec c=(c_1;c_2)=(\lambda d_1;\lambda d_2)=\lambda(d_1;d_2)=\lambda \vec d.$$

Значит, векторы $$\vec c$$ и $$\vec d$$ коллинеарны.

Итак, у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны, и обратно: если у двух ненулевых векторов соответствующие координаты пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.