Упр.9.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.
Пусть прямая $$AB$$ проходит через центр $$O$$ окружности и пересекает её в точках $$A$$ и $$B$$. Тогда $$AB$$ — диаметр окружности.
Возьмём произвольную точку $$X$$ окружности и опустим из неё перпендикуляр $$XM$$ на прямую $$AB$$. На окружности по другую сторону от прямой $$AB$$ отметим точку $$X’$$ так, чтобы точки $$X, O, X’$$ лежали на одной прямой.
Так как $$OX=OX’=R$$, то точка $$O$$ — середина отрезка $$XX’$$. Кроме того, $$OM \perp XX’$$, значит в равнобедренном треугольнике $$XX’$$ прямая $$OM$$ является и медианой, и высотой. Следовательно, $$XM=MX’$$.
Итак, точки $$X$$ и $$X’$$ симметричны относительно прямой $$AB$$. Поскольку точка $$X$$ была выбрана произвольно, любая точка окружности переходит при симметрии относительно $$AB$$ в другую точку той же окружности.
Значит, прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.
