Упр.7.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.

Пусть $$AB$$ — произвольная хорда окружности с центром в точке $$O$$. Тогда $$OA=OB=R$$, где $$R$$ — радиус окружности.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По неравенству треугольника

$$AB\le OA+OB=R+R=2R.$$

Но $$2R=d$$, где $$d$$ — диаметр окружности. Значит,

$$AB\le d.$$

Равенство $$AB=d$$ возможно только тогда, когда точки $$A$$, $$O$$ и $$B$$ лежат на одной прямой, то есть хорда проходит через центр окружности. В этом случае хорда является диаметром.

Следовательно, любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.

Ответ

$$AB\le d,$$ причём $$AB=d$$ только для диаметра.