Упр.9.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: прямая, проходящая через центр окружности, является ее
осью симметрии;
Доказательство:
1) Проведем прямую через центр O окружности, отметим точки A и B
на пересечении этой прямой и окружности;
2) Так как отрезок AB проходит через центр окружности, то он является
ее диаметром;
3) Отметим на окружности произвольную точку X, опустим из нее
перпендикуляр XM на прямую AB и отметим точку X’ на пересечении
прямой XO1 и окружности;
4) OX=OX’=R, значит в равнобедренном треугольнике AXX’
высота OM является медианой, отсюда: XM=MX’;
5) Таким образом, точки X и X’ симметричны относительно прямой AB,
а так как точка X произвольная, то любая точка окружности симметрична
какой-нибудь другой ее точке относительно прямой AB;
6) Значит прямая AB является осью симметрии данной окружности, что
и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть прямая $$l$$ проходит через центр $$O$$ окружности и пересекает её в точках $$A$$ и $$B$$. Тогда $$AB$$ — диаметр окружности.

Возьмём произвольную точку $$X$$ окружности и опустим из неё перпендикуляр $$XM$$ на прямую $$l$$. Обозначим через $$X’$$ точку, симметричную точке $$X$$ относительно прямой $$l$$.

Так как $$O$$ лежит на оси симметрии $$l$$, то при отражении относительно $$l$$ точка $$X$$ переходит в $$X’$$, а отрезки $$OX$$ и $$OX’$$ равны радиусам окружности:

$$OX=OX’=R.$$

Следовательно, точки $$X$$ и $$X’$$ лежат на одной окружности с центром $$O$$. Кроме того, прямая $$l$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$XX’$$, значит

$$XM=MX’.$$

Итак, каждой точке окружности соответствует симметричная ей точка той же окружности относительно прямой $$l$$. Значит, прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.