Упр.13.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что сторона правильного восьмиугольника вычисляется по формуле $$a_8=R\sqrt{2-\sqrt{2}}$$, где $$R$$ — радиус описанной окружности.

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_8$$ — правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$. Обозначим его сторону через $$a$$.

Центральный угол правильного восьмиугольника равен

$$\angle A_1OA_2=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$

Так как $$OA_1=OA_2=R$$, то в треугольнике $$A_1OA_2$$ по теореме косинусов получаем:

$$A_1A_2^2=OA_1^2+OA_2^2-2\cdot OA_1\cdot OA_2\cdot \cos \angle A_1OA_2$$

$$a^2=R^2+R^2-2R^2\cos 45^\circ$$

$$a^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt2}{2}$$

$$a^2=2R^2-R^2\sqrt2=R^2(2-\sqrt2).$$

Следовательно,

$$a=R\sqrt{2-\sqrt2}.$$

Ответ: $$a_8=R\sqrt{2-\sqrt2}.$$