Упр.12.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. На стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$ отмечена точка $$D$$. Докажите, что отрезок $$CD$$ меньше по крайней мере одной из сторон: $$AC$$ или $$BC$$.

Если один из углов $$A$$ или $$B$$ тупой, то по результату задачи 12.21 получаем:

при тупом угле $$B$$ имеем $$CD<AC$$, а при тупом угле $$A$$ имеем $$CD<BC$$.

Остаётся рассмотреть случай, когда углы $$A$$ и $$B$$ острые.

Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ на прямую $$AB$$. Так как углы $$A$$ и $$B$$ острые, то точка $$C$$ лежит между точками $$A$$ и $$B$$. Следовательно, точки $$D$$ и $$H$$ также лежат на отрезке $$AB$$, и потому

$$AH=AD+DH$$ или $$BH=BD+DH$$.

Значит, отрезок $$DH$$ меньше по крайней мере одного из отрезков $$AH$$ или $$BH$$.

Теперь рассмотрим наклонные $$AC$$, $$BC$$ и $$CD$$ к прямой $$AB$$. Их проекциями на прямую $$AB$$ являются соответственно $$AH$$, $$BH$$ и $$DH$$. По теореме о наклонных, проведённых из одной точки, и их проекциях, большей проекции соответствует большая наклонная. Поэтому из $$DH<AH$$ следует $$CD<AC$$, а из $$DH<BH$$ следует $$CD<BC$$.

Итак, $$CD$$ меньше по крайней мере одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$, что и требовалось доказать.