Упр.11.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении $$m:n$$. В каком отношении она делит другое основание?

Подробный ответ

Пусть диагонали трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$E$$, а прямая через $$E$$ пересекает основания $$AD$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно. По условию

$$\frac{AM}{MD}=\frac{m}{n}.$$

Рассмотрим треугольники $$AEM$$ и $$CEN$$. У них

$$\angle AEM=\angle CEN$$ — вертикальные,

$$\angle AME=\angle CNE$$ — как углы, образованные секущей $$MN$$ с параллельными прямыми $$AD$$ и $$BC$$.

Значит, $$\triangle AEM \sim \triangle CEN$$, поэтому

$$\frac{AM}{CN}=\frac{ME}{EN}.$$

Аналогично, треугольники $$DEM$$ и $$BEN$$ подобны, так как

$$\angle DEM=\angle BEN$$ — вертикальные,

$$\angle DME=\angle BNE$$ — как углы при параллельных прямых $$AD \parallel BC$$.

Следовательно,

$$\frac{DM}{BN}=\frac{ME}{EN}.$$

Из двух равенств получаем