Упр.10.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Дан параллелограмм ABCD, $$AC=a$$, $$DB=b$$ (рис. 234). Выразите векторы $$AB$$, $$CB$$, $$CD$$ и $$AD$$ через $$a$$ и $$b$$.

Пусть диагонали параллелограмма $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда по свойству параллелограмма

$$AO=OC=\frac12 AC,\qquad BO=OD=\frac12 BD.$$

Так как $$\vec{AC}=\vec a$$ и $$\vec{DB}=\vec b$$, то

$$\vec{AO}=\frac12\vec a,\qquad \vec{OC}=-\frac12\vec a,$$

$$\vec{OB}=\frac12\vec b,\qquad \vec{OD}=-\frac12\vec b.$$

Теперь выразим нужные векторы:

$$\vec{AB}=\vec{AO}+\vec{OB}=\frac12\vec a+\frac12\vec b=\frac12(\vec a+\vec b),$$

$$\vec{CB}=\vec{CO}+\vec{OB}=-\frac12\vec a+\frac12\vec b=\frac12(\vec b-\vec a),$$

$$\vec{CD}=\vec{CO}+\vec{OD}=-\frac12\vec a-\frac12\vec b=-\frac12(\vec a+\vec b),$$

$$\vec{AD}=\vec{AO}+\vec{OD}=\frac12\vec a-\frac12\vec b=\frac12(\vec a-\vec b).$$

Ответ: $$\vec{AB}=\frac12(\vec a+\vec b),\ \vec{CB}=\frac12(\vec b-\vec a),\ \vec{CD}=-\frac12(\vec a+\vec b),\ \vec{AD}=\frac12(\vec a-\vec b).$$