Упр.6.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Постройте параллелограмм:
   
   1) по двум сторонам и диагонали;
   
   2) по стороне и двум диагоналям.

Пусть требуется построить параллелограмм по заданным элементам.

1) Построение параллелограмма по двум сторонам и диагонали

Пусть даны отрезки $$a$$ и $$b$$ — стороны параллелограмма, а $$d$$ — его диагональ.

1. На произвольной прямой отложим отрезок $$AC=d$$.
2. Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$a$$, а из точки $$C$$ — окружность радиуса $$b$$. Их пересечение обозначим через $$B$$.
3. Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$b$$, а из точки $$C$$ — окружность радиуса $$a$$. Одну из точек пересечения обозначим через $$D$$ так, чтобы она лежала по другую сторону от прямой $$AC$$, чем точка $$B$$.
4. Соединим точки $$A,B,C,D$$.

Так как $$AB=a$$, $$BC=b$$, $$CD=a$$, $$DA=b$$, то в четырёхугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны попарно равны. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

2) Построение параллелограмма по стороне и двум диагоналям

Пусть дана сторона $$a$$ и диагонали $$d_1$$ и $$d_2$$.

1. На произвольной прямой отложим отрезок $$AD=a$$.
2. Построим середины отрезков $$d_1$$ и $$d_2$$ с помощью их серединных перпендикуляров.
3. Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$\frac{d_1}{2}$$, а из точки $$D$$ — окружность радиуса $$\frac{d_2}{2}$$. Их пересечение обозначим через $$O$$.
4. Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$d_1$$ и отметим точку $$C$$ на пересечении этой окружности и луча $$AO$$.
5. Из точки $$D$$ проведём окружность радиуса $$d_2$$ и отметим точку $$B$$ на пересечении этой окружности и луча $$DO$$.
6. Соединим точки $$A,B,C,D$$.

Точка $$O$$ является серединой обеих диагоналей, значит, диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся пополам. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.