Упр.11.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: основания трапеции относятся как m:n;
Найти: отношение отрезков, на которые разбиваются диагонали точкой
их пересечения;
Решение:
1) Пусть дана трапеция ABCD, у которой диагонали пересекаются в
точке E и основания относятся как: AD/BC=m/n;
2) Углы DAC и BCA равны как внутренние накрест лежащие углы при
параллельных прямых AD и BC и секущей AC;
3) Углы BEC и AED равны как вертикальные;
4) Тогда треугольники BCE и DAE подобны по двум углам

Подробный ответ

Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$ параллельны, а диагонали пересекаются в точке $$E$$. По условию

$$\frac{AD}{BC}=\frac{m}{n}.$$

Рассмотрим треугольники $$DAE$$ и $$BCE$$.

Углы $$\angle DAE$$ и $$\angle BCE$$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AC$$.

Углы $$\angle DEA$$ и $$\angle BEC$$ равны как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle DAE \sim \triangle BCE$$ по двум углам.

Из подобия получаем пропорцию соответствующих сторон:

$$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BC}=\frac{m}{n}.$$

Аналогично для другой диагонали:

$$\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{AD}=\frac{n}{m},$$

то есть