Вопрос 22 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника лежат на окружности Эйлера.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ — середины его сторон, $$A_2, B_2, C_2$$ — основания высот, а $$H_1, H_2, H_3$$ — середины отрезков, соединяющих ортоцентр $$H$$ с вершинами треугольника.
Докажем, что все эти точки лежат на одной окружности.
- Прямые $$C_1H_2$$ и $$AH$$ параллельны, так как они отсекают равные отрезки на сторонах угла $$ABH$$: $$AC_1=C_1B$$ и $$BH_2=H_2H$$. По теореме Фалеса получаем $$C_1H_2 \parallel AH$$.
- Аналогично $$B_1H_3 \parallel AH$$, поскольку $$AB_1=B_1C$$ и $$HH_3=H_3C$$.
- Следовательно, $$C_1H_2 \parallel B_1H_3$$.
- Кроме того, $$C_1B_1 \parallel H_2H_3$$ как средние линии треугольников $$BCA$$ и $$BCH$$ с общим основанием $$BC$$.
- Значит, четырехугольник $$C_1B_1H_3H_2$$ — параллелограмм. Но $$AH \perp BC$$, поэтому $$C_1H_2 \perp C_1B_1$$ и $$B_1H_3 \perp H_2H_3$$. Следовательно, $$C_1B_1H_3H_2$$ — прямоугольник.
- Аналогично доказывается, что четырехугольник $$C_1H_1H_3A_1$$ тоже является прямоугольником.
- Из свойств прямоугольника следует, что его диагонали равны и пересекаются в одной точке. Поэтому отрезки $$A_1H_1$$, $$B_1H_2$$ и $$C_1H_3$$ равны и имеют общую середину $$O$$.
Следовательно, точки $$A_1, B_1, C_1, H_1, H_2, H_3$$ лежат на одной окружности с центром $$O$$. Эта окружность называется окружностью Эйлера.
Осталось показать, что на ней лежат и основания высот. Рассмотрим точку $$A_2$$. Углы $$\angle A_1A_2H_1$$ и $$\angle A_1C_1H_1$$ прямые, значит точки $$A_1, A_2, H_1, C_1$$ лежат на окружности с диаметром $$A_1H_1$$. Но эта окружность совпадает с окружностью Эйлера, так как $$A_1H_1$$ — ее диаметр.
Аналогично доказывается, что точки $$B_2$$ и $$C_2$$ также лежат на этой окружности.
Итак, середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, и основания высот лежат на одной окружности.
