Упр.10.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 22. Точки М и N являются серединами отрезков АВ и CD соответственно. Докажите векторное равенство MN = 1/2*(АС + BD) (рис. 233). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 pogorelov7-9 10-22 76

Так как точки $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AB$$ и $$CD$$, то

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}, \qquad \overrightarrow{CN}=\overrightarrow{ND}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}, \qquad \overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{CN}.$$

Выразим вектор $$\overrightarrow{MN}$$ через путь $$M \to A \to C \to N$$:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}.$$

Аналогично, через путь $$M \to B \to D \to N$$:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}.$$

Сложим эти равенства:

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}.$$

Подставим $$\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}$$ и $$\overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{CN}$$:

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right).$$

Ответ

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right).$$