Упр.3.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 22. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причём отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD (рис. 64). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 pogorelov7-9 3-22 76

Обозначим общую середину отрезков $$AB$$ и $$CD$$ через точку $$O$$. Тогда

$$AO=OB,\qquad CO=OD.$$

Так как треугольник $$ABE$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, то

$$AE=BE.$$

Рассмотрим треугольники $$AEO$$ и $$BEO$$. У них:

• $$AE=BE$$;
• $$AO=OB$$;
• $$EO$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle AEO \cong \triangle BEO$$ по трём сторонам. Отсюда

$$\angle AOE=\angle EOB.$$

Но точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, значит углы $$\angle AOE$$ и $$\angle EOB$$ смежные. Равные смежные углы могут быть только прямыми, поэтому

$$EO \perp AB.$$

Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной прямой, то $$EO \perp CD$$ тоже.

Теперь рассмотрим треугольники $$COE$$ и $$DOE$$. У них:

• $$CO=OD$$;
• $$EO$$ — общая сторона;
• $$\angle COE=\angle EOD=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle COE \cong \triangle DOE$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,

$$CE=DE.$$

Итак, треугольник $$CDE$$ равнобедренный с основанием $$CD$$.

Ответ

$$CE=DE,$$ значит $$\triangle CDE$$ равнобедренный с основанием $$CD$$.