Вопрос 22 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Отобразим условие задачи:
Доказать: середины сторон треугольника, середины отрезков, соеди-
няющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника
лежат на одной окружности;
Доказательство:
1) Пусть дан треугольник ABC, точки A1, B1 и C1 являются серединами
его сторон, точки A2, B2 и C2 являются основаниями высот, а точки
H1, H2 и H3-середины отрезков, соединяющих его ортоцентр H с
вершинами треугольника;
2) Прямые C1 H2 и AH параллельны, так как они отсекают равные отрезки
на сторонах угла ABH: AC1=C1 B и BH2=H2 H (теорема Фалеса);
3) Прямые B1 H3 и AH параллельны, так как они отсекают равные отрезки
на сторонах угла ACH: AB1=B1 C и HH3=H3 C (теорема Фалеса);
4) Значит отрезки C1 H2 и B1 H3 параллельны, так как они параллельны
одной прямой AH;
5) Отрезки C1 B1 и H2 H3 параллельны (как средние линии треугольников
BCH и BCA с общим основанием BC);
6) Следовательно, четырехугольник C1 B1 H3 H2-параллелограмм, но
AH перпендикулярен BC, значит C1 H2 перпендикулярен C1 B1 и B1 H3 перпендикулярен H2 H3, то есть C1 B1 H3 H2 является
прямоугольником;
7) Аналогично доказывается, что прямоугольником является четы-
рехугольник C1 H1 H3 A1;
8) Значит отрезки A1 H1, B1 H2 и C1 H3 равны (по свойству диагоналей
прямоугольника) и пересекаются в одной точке O;
9) Следовательно, середины сторон данного треугольника и середины
отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, лежат на одной
окружности с центром O, являющейся окружностью Эйлера;
10) На этой окружности лежит и основание высоты AA2, так как углы
A1 A2 H1 и A1 C1 H1-прямые, поэтому их вершины лежат на одной
окружности с диаметром A1 H1;
11) Аналогично доказывается, что основания высот BB2 и CC2 тоже
лежат на этой окружности, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ — середины его сторон, точки $$A_2, B_2, C_2$$ — основания высот, а точки $$H_1, H_2, H_3$$ — середины отрезков, соединяющих ортоцентр $$H$$ с вершинами треугольника.

Докажем, что все эти точки лежат на одной окружности.

Рассмотрим четырёхугольник $$C_1B_1H_3H_2$$.

По теореме Фалеса прямые $$C_1H_2$$ и $$AH$$ параллельны, так как на сторонах угла $$ABH$$ выполнено $$AC_1=C_1B$$ и $$BH_2=H_2H$$. Аналогично, прямые $$B_1H_3$$ и $$AH$$ параллельны, так как на сторонах угла $$ACH$$ выполнено $$AB_1=B_1C$$ и $$HH_3=H_3C$$.

Следовательно, $$C_1H_2 \parallel B_1H_3$$. Кроме того, $$C_1B_1 \parallel H_2H_3$$, так как это средние линии треугольников $$BCA$$ и $$BCH$$ с общим основанием $$BC$$.

Значит, четырёхугольник $$C_1B_1H_3H_2$$ — параллелограмм. Но $$AH \perp BC$$, поэтому $$C_1H_2 \perp C_1B_1$$ и $$B_1H_3 \perp H_2H_3$$. Следовательно, $$C_1B_1H_3H_2$$ — прямоугольник.

Аналогично доказывается, что прямоугольником является и четырёхугольник $$C_1H_1H_3A_1$$.

Из свойств прямоугольника получаем, что его диагонали равны и пересекаются в одной точке. Значит, отрезки $$A_1H_1$$, $$B_1H_2$$ и $$C_1H_3$$ равны и имеют общий центр $$O$$.

Следовательно, точки $$A_1, B_1, C_1, H_1, H_2, H_3$$ лежат на одной окружности с центром $$O$$. Это и есть окружность Эйлера.

Теперь покажем, что на этой же окружности лежат основания высот. Рассмотрим, например, точку $$A_2$$. Углы $$\angle A_1A_2H_1$$ и $$\angle A_1C_1H_1$$ прямые, значит точки $$A_1, A_2, H_1, C_1$$ лежат на окружности с диаметром $$A_1H_1$$. Но точки $$A_1, H_1, C_1$$ уже лежат на окружности Эйлера, следовательно, и $$A_2$$ лежит на ней.

Аналогично доказывается, что точки $$B_2$$ и $$C_2$$ также лежат на этой окружности.