Упр.14.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса $$R$$.

Пусть $$a$$ — сторона правильного треугольника. Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$, имеем

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{3}=2R\sin60^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3.$$

Площадь правильного треугольника выражается формулой

$$S=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Подставим найденное значение стороны:

$$S=\frac{(R\sqrt3)^2\sqrt3}{4} =\frac{3R^2\sqrt3}{4}.$$

Ответ: $$\frac{3R^2\sqrt3}{4}$$.