Вопрос 22 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 22. Докажите, что для любых трёх векторов а, b, с (а + b) с = ас + bс.

Пусть $$\vec a=(a_1;a_2),\ \vec b=(b_1;b_2),\ \vec c=(c_1;c_2).$$

Тогда

$$ (\vec a+\vec b)\cdot \vec c = \bigl((a_1+b_1;\ a_2+b_2)\bigr)\cdot (c_1;c_2) = (a_1+b_1)c_1+(a_2+b_2)c_2. $$

Раскроем скобки:

$$ (a_1+b_1)c_1+(a_2+b_2)c_2 = a_1c_1+a_2c_2+b_1c_1+b_2c_2. $$

С другой стороны,

$$ \vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c = (a_1;a_2)\cdot(c_1;c_2)+(b_1;b_2)\cdot(c_1;c_2) = a_1c_1+a_2c_2+b_1c_1+b_2c_2. $$

Следовательно,

$$ (\vec a+\vec b)\cdot \vec c=\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c. $$

Ответ

$$ (\vec a+\vec b)\cdot \vec c=\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c. $$