Вопрос 22 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что для любых трёх векторов $$a$$, $$b$$, $$c$$ $$\left(a+b\right)c=ac+bc$$.

Пусть $$\vec a=(a_1;a_2),\ \vec b=(b_1;b_2),\ \vec c=(c_1;c_2)$$ — произвольные векторы.

Тогда

$$(\vec a+\vec b)\cdot \vec c = ((a_1+b_1;\ a_2+b_2))\cdot (c_1;c_2) = (a_1+b_1)c_1+(a_2+b_2)c_2.$$

Раскроем скобки:

$$(a_1+b_1)c_1+(a_2+b_2)c_2 = a_1c_1+a_2c_2+b_1c_1+b_2c_2.$$

С другой стороны,

$$\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c = (a_1;c_2)\cdot(c_1;c_2)+(b_1;b_2)\cdot(c_1;c_2) = a_1c_1+a_2c_2+b_1c_1+b_2c_2.$$

Следовательно,

$$(\vec a+\vec b)\cdot \vec c=\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c.$$

Ответ

$$(\vec a+\vec b)\cdot \vec c=\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c.$$