Упр.8.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(4; 1)$$, $$B(0; 4)$$, $$C(-3; 0)$$, $$D(1; -3)$$ является квадратом.

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(4-0)^2+(1-4)^2}=\sqrt{16+9}=5,$$
$$BC=\sqrt{(0-(-3))^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5,$$
$$CD=\sqrt{((-3)-1)^2+(0-(-3))^2}=\sqrt{16+9}=5,$$
$$DA=\sqrt{(1-4)^2+((-3)-1)^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

Следовательно, $$AB=BC=CD=DA,$$ значит, $$ABCD$$ — ромб.

Теперь найдём диагонали:

$$AC=\sqrt{(4-(-3))^2+(1-0)^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50},$$
$$BD=\sqrt{(0-1)^2+(4-(-3))^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}.$$

Итак, у ромба диагонали равны. Ромб с равными диагоналями является квадратом.

Можно также проверить прямой угол: в треугольнике $$ABC$$

$$AC^2=AB^2+BC^2,$$

то есть $$\angle B=90^\circ.$$ Аналогично получаем $$\angle A=90^\circ.$$ Значит, все углы четырёхугольника прямые, поэтому $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ: $$ABCD$$ — квадрат.