Упр.7.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны прямая и точка C на расстоянии $$h$$ от этой прямой. Докажите, что из точки C можно провести две и только две наклонные длины $$l$$, если $$l>h$$.

Пусть $$a$$ — данная прямая, а $$H$$ — основание перпендикуляра $$CH$$ к этой прямой. Тогда $$CH=h$$.

Так как $$l>h$$, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$l$$ и катетом $$h$$ второй катет равен

$$AH=BH=\sqrt{l^2-h^2}.$$

На прямой $$a$$ по разные стороны от точки $$H$$ отложим отрезки $$HA$$ и $$HB$$ такой длины. Тогда в прямоугольных треугольниках $$ACH$$ и $$BCH$$ имеем:

$$AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{h^2+\left(l^2-h^2\right)}=\sqrt{l^2}=l,$$

$$BC=\sqrt{CH^2+BH^2}=\sqrt{h^2+\left(l^2-h^2\right)}=\sqrt{l^2}=l.$$

Значит, из точки $$C$$ можно провести две наклонные длины $$l$$.

Они единственны, потому что на каждой из двух полупрямых, на которые точка $$H$$ делит прямую $$a$$, можно отложить только один отрезок данной длины.

Ответ

Из точки $$C$$ можно провести две и только две наклонные длины $$l$$.