Упр.6.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ перпендикуляр, опущенный из вершины $$B$$ на сторону $$AD$$, делит её пополам. Найдите диагональ $$BD$$ и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен $$3{,}8\ \text{м}$$, а периметр треугольника $$ABD$$ равен $$3\ \text{м}$$.

В треугольнике $$ABD$$ отрезок $$BH$$ является высотой, так как $$BH \perp AD$$, и медианой, так как $$AH=HD$$. Значит, треугольник $$ABD$$ равнобедренный, поэтому

$$AB=BD.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то

$$AB=CD,\quad BC=AD.$$

Обозначим $$AB=BD=x$$, $$AD=BC=y$$. Тогда по условию:

$$2x+y=3,$$

$$2x+2y=3{,}8.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$y=3{,}8-3=0{,}8.$$

Тогда

$$2x+0{,}8=3,$$

$$2x=2{,}2,$$

$$x=1{,}1.$$

Следовательно,

$$AD=BC=0{,}8\text{ м},$$

$$AB=CD=BD=1{,}1\text{ м}.$$

Ответ: $$BD=1{,}1\text{ м},\; AB=CD=1{,}1\text{ м},\; AD=BC=0{,}8\text{ м}.$$