Упр.12.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: треугольник ABC; угол C-тупой; точка X лежит на стороне AC;
Доказать: BX < AB; Доказательство: 1) Из точки B опустим перпендикуляр BH на прямую AC; 2) Угол C тупой, значит точка H лежит по другую сторону от точки A относительно точки C, так как иначе в треугольнике BCH был бы только один острый угол, что невозможно; 3) Точка X лежит между точками A и C, значит: HX=HC+CX и HA=HC+CX+XA, следовательно HX < HA; 4) HX-проекция наклонной BX, а HA-проекция наклонной AB на прямую AC, значит по теореме о наклонных, проведенных из одной точки, и их проекциях: BX < AB, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Из точки $$B$$ опустим перпендикуляр $$BH$$ на прямую $$AC$$.

Так как $$\angle C$$ тупой, то точка $$H$$ лежит на продолжении прямой $$AC$$ за точкой $$C$$. Иначе в треугольнике $$BCH$$ был бы только один острый угол, что невозможно.

Точка $$X$$ лежит на стороне $$AC$$, значит она находится между точками $$A$$ и $$C$$. Тогда

$$HX=HC+CX,$$

а также

$$HA=HC+CX+XA.$$

Следовательно, $$HX<HA$$.

Теперь рассмотрим наклонные $$BX$$ и $$AB$$, проведённые из точки $$B$$ к прямой $$AC$$. Их проекции на прямую $$AC$$ равны соответственно $$HX$$ и $$HA$$. Так как $$HX<HA$$, то по теореме о наклонных большая наклонная имеет большую проекцию. Значит,

$$BX<AB.$$

Что и требовалось доказать.