Упр.3.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что у равных треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$: 1) медианы, проведённые из вершин $$A$$ и $$A_1$$, равны; 2) биссектрисы, проведённые из вершин $$A$$ и $$A_1$$, равны.
Пусть $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$ Тогда соответствующие элементы равных треугольников равны:
$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle BAC=\angle B_1A_1C_1.$$
Докажем отдельно оба утверждения.
1) Медианы, проведённые из вершин $$A$$ и $$A_1$$, равны
Пусть $$M$$ и $$M_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$B_1C_1$$ соответственно. Тогда, так как треугольники равны, имеем
$$BC=B_1C_1.$$
Поскольку $$M$$ и $$M_1$$ — середины соответствующих сторон, то
$$BM=\frac12 BC,\qquad B_1M_1=\frac12 B_1C_1,$$
следовательно,
$$BM=B_1M_1.$$
Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$. У них
$$AB=A_1B_1,\quad BM=B_1M_1,$$
а угол между этими сторонами равен, так как $$M\in BC$$ и $$M_1\in B_1C_1$$:
$$\angle ABM=\angle ABC=\angle A_1B_1C_1=\angle A_1B_1M_1.$$
Значит, $$\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AM=A_1M_1.$$
2) Биссектрисы, проведённые из вершин $$A$$ и $$A_1$$, равны
Пусть $$D$$ и $$D_1$$ — точки пересечения биссектрис $$AD$$ и $$A_1D_1$$ со сторонами $$BC$$ и $$B_1C_1$$ соответственно. Тогда, так как $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы,
$$\angle BAD=\frac12\angle BAC,\qquad \angle B_1A_1D_1=\frac12\angle B_1A_1C_1.$$
Но $$\angle BAC=\angle B_1A_1C_1$$, значит
$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$
Кроме того, из равенства треугольников получаем
$$AB=A_1B_1.$$
Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$. У них
$$AB=A_1B_1,\quad \angle BAD=\angle B_1A_1D_1,$$
а также равны углы при вершинах $$B$$ и $$B_1$$, так как $$D\in BC$$ и $$D_1\in B_1C_1$$:
$$\angle ABD=\angle ABC=\angle A_1B_1C_1=\angle A_1B_1D_1.$$
Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$$, откуда
$$AD=A_1D_1.$$
Итак, у равных треугольников равны и медианы, проведённые из соответствующих вершин, и биссектрисы, проведённые из соответствующих вершин.
