Упр.15.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- По стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.
Пусть $$n$$ — число сторон основания правильной призмы. Тогда полная поверхность равна сумме боковой поверхности и удвоенной площади основания:
$$S=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}.$$
Основание — правильный $$n$$-угольник со стороной $$a$$. Разобьём его на $$n$$ равных треугольников с вершиной в центре основания. Для одного такого треугольника центральный угол равен
$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$
Опустим из центра $$O$$ перпендикуляр $$OH$$ на сторону $$AB$$. Тогда $$AH=\dfrac{a}{2}$$, а в прямоугольном треугольнике $$AOH$$
$$\tg \angle AOH=\frac{AH}{OH}, \qquad \angle AOH=\frac{180^\circ}{n}.$$
Отсюда
$$OH=\frac{AH}{\tg \angle AOH}=\frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=n\cdot \frac12 \cdot a \cdot OH=n\cdot \frac12 \cdot a \cdot \frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}=\frac{na^2}{4\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$
Так как призма правильная, её боковая поверхность состоит из $$n$$ прямоугольников со сторонами $$a$$ и $$b$$, значит
$$S_{\text{бок}}=nab.$$
Следовательно,
$$S=nab+\frac{na^2}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
Для правильной треугольной призмы $$\left(n=3\right)$$:
$$S=3ab+\frac{3a^2}{2\tg 60^\circ}=3ab+\frac{3a^2}{2\sqrt{3}}=3ab+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Для правильной четырёхугольной призмы $$\left(n=4\right)$$:
$$S=4ab+\frac{4a^2}{2\tg 45^\circ}=4ab+2a^2.$$
Для правильной шестиугольной призмы $$\left(n=6\right)$$:
$$S=6ab+\frac{6a^2}{2\tg 30^\circ}=6ab+\frac{6a^2}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}=6ab+3a^2\sqrt{3}.$$
Ответ: 1) $$3ab+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$; 2) $$4ab+2a^2$$; 3) $$6ab+3a^2\sqrt{3}$$.
