Упр.14.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна $$a$$.

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник, тогда

$$AB=BC=CA=a.$$

Опустим из вершины $$B$$ высоту $$BH$$ на сторону $$AC$$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH =\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Ответ: $$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$.