Упр.12.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. У треугольника $$ABC$$ угол $$C$$ тупой. Докажите, что если точка $$X$$ лежит на стороне $$AC$$, то $$BX < AB$$.

Из точки $$B$$ опустим перпендикуляр $$BH$$ на прямую $$AC$$.

Так как $$\angle C$$ тупой, то точка $$H$$ лежит на продолжении прямой $$AC$$ за точкой $$C$$. Иначе в треугольнике $$BCH$$ получился бы только один острый угол, что невозможно.

Точка $$X$$ лежит на стороне $$AC$$, значит она находится между точками $$A$$ и $$C$$. Тогда

$$HX=HC+CX,$$

а также

$$HA=HC+CX+XA.$$

Следовательно, $$HX<HA$$.

Теперь рассмотрим наклонные $$BX$$ и $$AB$$, проведённые из точки $$B$$ к прямой $$AC$$. Их проекции на прямую $$AC$$ равны соответственно $$HX$$ и $$HA$$. Так как при большей проекции наклонная больше, то из неравенства $$HX<HA$$ получаем

$$BX<AB.$$

Что и требовалось доказать.