Упр.9.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: диагонали ромба являются его осями симметрии;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный ромб;
2) По свойству ромба, диагонали AC и BD являются биссектрисами его
углов;
3) Прямая BD-биссектриса угла ABC, значит она является его осью
симметрии (задача 9.16);
4) Прямая BD-биссектриса угла ADC, значит она является и его осью
симметрии (задача 9.16);
5) Таким образом, каждая точка ромба ABCD симметрична какой-нибудь
другой его точке относительно BD, следовательно диагональ BD является
его осью симметрии, аналогично доказывается для диагонали AC.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб.

По свойству ромба его диагонали $$AC$$ и $$BD$$ являются биссектрисами углов ромба.

Рассмотрим диагональ $$BD$$. Она является биссектрисой угла $$ABC$$, значит, прямая $$BD$$ является осью симметрии этого угла. Аналогично, $$BD$$ — биссектриса угла $$ADC$$, следовательно, она является осью симметрии и этого угла.

Значит, при отражении относительно прямой $$BD$$ вершины $$A$$ и $$C$$ переходят друг в друга, а точки $$B$$ и $$D$$ остаются на месте. Следовательно, весь ромб переходит сам в себя, то есть $$BD$$ — ось симметрии ромба.

Аналогично доказывается, что диагональ $$AC$$ также является осью симметрии ромба.