Упр.10.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ проведена медиана $$AM$$. Докажите, что $$AM=\frac{1}{2}(AB+AC)$$.

Достроим треугольник $$ABC$$ до параллелограмма $$ABDC$$.

По правилу сложения векторов для параллелограмма имеем:

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$$

Так как $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то точка $$M$$ является серединой отрезка $$BC$$. В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, значит точка $$M$$ — середина диагонали $$AD$$. Следовательно,

$$AM=MD=\frac{1}{2}AD.$$

Векторы $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ сонаправлены, поэтому

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$$

Подставляя выражение для $$\overrightarrow{AD}$$, получаем:

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$$

Что и требовалось доказать.