Упр.8.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите точку, равноудалённую от осей координат и от точки $$(3; 6)$$.

Пусть $$B(x;y)$$ — искомая точка. Так как она равноудалена от осей координат, то расстояния от неё до оси абсцисс и оси ординат равны, значит $$x=y$$.

Кроме того, точка $$B$$ равноудалена от точки $$A(3;6)$$, поэтому

$$AB=x.$$

Тогда по формуле расстояния между точками:

$$x^2=(3-x)^2+(6-y)^2.$$

С учётом $$y=x$$ получаем:

$$x^2=(3-x)^2+(6-x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2=9-6x+x^2+36-12x+x^2,$$

$$x^2-18x+45=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=18^2-4\cdot 45=324-180=144,$$

$$x_{1,2}=\frac{18\pm 12}{2}.$$

Отсюда

$$x_1=3,\qquad x_2=15.$$
Так как $$y=x$$, то

$$y_1=3,\qquad y_2=15.$$

Следовательно, искомые точки: $$\left(3;3\right)$$ и $$\left(15;15\right)$$.

Ответ: $$\left(3;3\right)$$ и $$\left(15;15\right)$$.