Упр.7.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 7.20. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, причём $$AC$$ — его наибольшая сторона. Возьмём две произвольные точки $$X$$ и $$D$$ на сторонах треугольника.
Если точки $$X$$ и $$D$$ лежат на одной стороне, то расстояние между ними не превосходит длины этой стороны, а значит, не больше $$AC$$.
Пусть теперь $$X \in AB$$, а $$D \in CB$$. Рассмотрим треугольник $$CXB$$. По неравенству треугольника для него имеем:
$$XD<XB+BD.$$
Так как $$X$$ лежит на отрезке $$AB$$, то $$XB\le AB$$, а поскольку $$AC$$ — наибольшая сторона треугольника, то $$AB\le AC$$. Следовательно, $$XB\le AC$$.
Аналогично, в треугольнике $$CXD$$ расстояние $$XD$$ не может быть больше большей из сторон, поэтому при любых положениях точек на сторонах треугольника получаем
$$XD\le AC.$$
Итак, расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон.
