Упр.2.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть $$\angle a_1a_2$$ и $$\angle b_1b_2$$ — вертикальные углы, а лучи $$c_1$$ и $$c_2$$ — их биссектрисы.

Так как вертикальные углы равны, то

$$\angle a_1a_2=\angle b_1b_2.$$

Биссектриса делит угол пополам, значит

$$\angle a_1c_1=\frac12\angle a_1a_2,$$

$$\angle b_1c_2=\frac12\angle b_1b_2=\frac12\angle a_1a_2.$$

Кроме того, углы $$\angle a_1c_1$$ и $$\angle c_2b_1$$, а также $$\angle b_1c_2$$ и $$\angle c_1a_1$$ образуют развернутый угол, поэтому угол между биссектрисами равен

$$\angle c_1c_2=\angle c_1a_1+\angle a_1b_1+\angle b_1c_2.$$

Но $$\angle a_1b_1=180^\circ-\angle a_1a_2,$$ следовательно

$$\angle c_1c_2=\frac12\angle a_1a_2+\left(180^\circ-\angle a_1a_2\right)+\frac12\angle a_1a_2=180^\circ.$$

Значит, лучи $$c_1$$ и $$c_2$$ образуют развернутый угол, то есть лежат на одной прямой.

Ответ: биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.