Вопрос 20 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Отобразим условие задачи:
Доказать: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают
от сторон угла пропорциональные отрезки;
Доказательство:
1) Пусть стороны угла A пересекаются параллельными прямыми в
точках B, C и B1, C1 соотвественно, теоремой утверждается, что
(AC1)/AC=(AB1)/AB;
2) Пусть существует такой отрезок длины ?, который угладывается
целое количество раз и на отрезке AC, и на отрезке AC1, пусть AC=n?,
AC1=m? (n > m);
3) Разобьем отрезок AC на n равных частей (длины ?), при этом точка
C1 будет одной из точек деления;
4) Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой BC,
согласно теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок AB на равные
отрезки некоторой длины ?1, тогда:
AB=n1 ? и AB1=m?1;
5) Таким образом:
(AC1)/AC=m?/n?=m/n и (AB1)/AB=(m?1)/(n?1)=m/n, значит (AC1)/AC=(AB1)/AB, что и
требовалось доказать.

Пусть стороны угла с вершиной $$A$$ пересекаются параллельными прямыми в точках $$B,\,C$$ и $$B_1,\,C_1$$ соответственно. Нужно доказать, что

$$\frac{AC_1}{AC}=\frac{AB_1}{AB}.$$

Предположим, что существует отрезок длины $$\delta$$, который укладывается целое число раз и на отрезке $$AC$$, и на отрезке $$AC_1$$. Тогда можно записать:

$$AC=n\delta,\qquad AC_1=m\delta,\qquad n>m.$$

Разобьём отрезок $$AC$$ на $$n$$ равных частей длины $$\delta$$. Тогда точка $$C_1$$ окажется одной из точек деления.

Проведём через точки деления прямые, параллельные прямой $$BC$$. По теореме Фалеса они разобьют отрезок $$AB$$ на равные части некоторой длины $$\delta_1$$. Следовательно,

$$AB=n\delta_1,\qquad AB_1=m\delta_1.$$

Тогда

$$\frac{AC_1}{AC}=\frac{m\delta}{n\delta}=\frac{m}{n},\qquad \frac{AB_1}{AB}=\frac{m\delta_1}{n\delta_1}=\frac{m}{n}.$$

Значит,

$$\frac{AC_1}{AC}=\frac{AB_1}{AB},$$

что и требовалось доказать.